Logiikkaa ja magiikkaa
Androgyynihullumies oli kuullut salaperäisistä kirjekuorista. Lupasin paljastaa jutun jujun. Nyt on vähintäänkin korkea aika lunastaa lupaus.
Kertauksen vuoksi: On kyse pelitilanteesta, jossa sinulle näytetään kaksi samanlaista kirjekuorta. Luotettava taho kertoo, että molemmissa on rahaa, toisessa täsmälleen kaksi kertaa niin paljon kuin toisessa. Voit valita jommankumman. Kun olet ottanut toisen kuorista, voit jopa avata sen ja katsoa. Löydät sisältä rahasumman a. Sinulle annetaan vielä mahdollisuus vaihtaa kuorta - kannattaisiko se?
Päättelyketju, joka johtaa niin kutsuttuun kahden kirjekuoren paradoksiin, on seuraavanlainen: Koska olet voinut valita vapaasti, on yhtä todennäköistä, että olet valinnut kuoren, jossa on enemmän rahaa tai kuoren, jossa on vähemmän. Valitussa kuoressa on a euroa. Jos siis tuossa toisessa kuoressa on enemmän, niin siinä on 2a, jos taas vähemmän, on kuoressa 1/2a. Vaihtamalla voit voittaa a: n verran tai hävitä 1/2a:n verran, ja koska kumpikin vaihtoehto on yhtä todennäköinen, utiliteetin ("hyödyn") odotusarvoksi tulee suoraan lukujen keskiarvo, mikä tarkoittaa, että vaihtamalla voittaa keskimäärin 25 %. On ilman muuta rationaalista vaihtaa!
Tämän laskelman perusteella vaihtaminen näyttäisi olevan perusteltua aina, avasipa valitsija kuoren tai ei.
(Oman kokemukseni mukaan tämä mysteerijuttu on helppo kertoa niin kauan, kuin kertoja ei itsekään ymmärrä, missä päättely mahtaa mennä vikaan. Kun ongelman luonteen tiedostaa, arvoituksen esittäminen ei käy enää yhtä luontevasti.)
Aiheesta "two envelope(s) problem" eli "two envelope(s) paradox" on olemassa varsin paljon kirjallisuutta, jota tulin pintapuolisesti lueskelleeksi pari vuotta sitten. Wikipediassa on aiheesta tietenkin
hyvä artikkeli, mutta suhtaudun pulmaan ikään kuin harjoitustyönä ja koetan selittää sen omalla tavallani:
Kirjekuoriparadoksi on eräänlainen looginen silmänkääntötemppu, jossa kirjekuori vaihtuu salakavalasti rahaksi.
Tarkastellaan ensiksi tilannetta ikään kuin ylhäältäpäin ja erillään muista mahdollisista tilanteista, pitäytyen pelkästään faktisiin vaihtoehtoihin. Meillä on kaksi kuorta, joista tiedämme vain, että toisessa on täsmälleen kaksi kertaa niin paljon rahaa kuin toisessa. Jahka olemme valinneet toisen kuoren, olemme valinneet toisenkin: näin ollen sen todennäköisyys, että valitsematta jääneessä kuoressa oleva summa on kaksinkertainen valitsemaamme nähden, on joko 100% tai 0%, mutta me vain emme tiedä kumpi! Mitä siis veikkaamme ja millä perusteella?
Intuitiomme sanoo, että veikkaajankin tsäänssi (tarkemmin sanottuna subjektiivinen apriorinen todennäköisyys) löytää toisesta kuoresta isompi summa on ilman muuta fifty-fifty. Tietyssä mielessä näin on, mutta kannattaa miettiä, mitä me oikeastaan tulemme esittäneeksi, kun toteamme, että toisessa kuoressa oleva summa on 50%:n todennäköisyydellä kaksinkertainen tässä kuoressa olevaan nähden? Emme kerta kaikkiaan mitään, mikä oikeuttaisi utiliteettilaskelman: tuo väittämä voidaan nimittäin esittää ainoastaan suhteessa kuoreen, mutta ei mihinkään kuoresta löytyvään summaan a.
Ajatellaan edelleen, että toisessa kuoressa on summa a ja toisessa summa b. Valitussa kuoressa on jompikumpi. On selvää, että suurempaan (olkoot se b) nähden voit hävitä 50% (a=0.5b) ja pienempään nähden voittaa 100% (b=2a), mutta vaihtamisen keskiarvohyöty ei ole tällä tavoin esitetyssä tapauksessa määritelty, sillä laskettavat hyödyt eivät ole yhteismitallisia: pöydälle jääneessä kuoressa on joko puolta pienempi tai puolta suurempi summa kun valitussa kuoressa, mutta näissä tapauksissa myös valitussa kuoressa oleva summa on eri! Odotusarvolaskelma edellyttää, että muuttujalle x="tässä kuoressa oleva summa" voidaan antaa yksikäsitteinen arvo! Vaihtamisen odotushyödystä voidaan puhua ainoastaan jonkin tietyn summan suhteen, eikä sitä näin ollen ole ollenkaan määritelty ennen kuin kuori on avattu.
Esimerkki 1: Olet siis avannut kuoren ja tiedät, että siellä on rahaa sanottakoon sata euroa. Onko mielestäsi yhtä todennäköistä, että toisessa kuoressa on 50 euroa kuin että toisessa on 200 euroa?
Esimerkki 2: Olet avannut kuoren ja löytänyt sieltä 20 000 000 euron sekin. Mitä ajattelet todennäköisyyksistä nyt?
Esimerkki 3: Entä jos kuoresta löytyykin viisisenttinen? Mitkä ovat todennäköisyydet?
Kun yksikäsitteisyysehto täyttyy, voimme tarkastella odotusutiliteettia annetun luvun (rahasumman) x funktiona. Tällöin emme voi enää viitata faktiseen tilanteeseen ikään kuin tuntisimme sen, vaan joudumme miettimään mikä se voisi olla - eli laskelman lähtökohdat ovat erilaisissa "mahdollisissa maailmoissa" sijaitsevia hypoteettisia vaihtoehtoisia pelitilanteita, joille antamamme todennäköisyydet ovat täysin subjektiivisia. Näiden ns. aprioritodennäköisyyksien jakauma (joka määrittää utiliteettifunktion x:n suhteen antamalla jokaiselle voitolle ja tappiolle "vedonlyöntikertoimen") on itse asiassa täysin riippumaton siitä tosiseikasta, että alkuperäinen mahdollisuutemme valita kirjekuorista kumpi tahansa on yhtä suuri.
Se, millä (a priori) todennäköisyydellä toisessa kuoressa on kaksinkertainen summa, jos toisessa on tietty summa x=c, vaikkapa 100 €, liittyy näin ollen sen arvioimiseen, millaisia rahamääriä kuorissa voi olla. Mainittakoon, että jos em. todennäköisyys olisi 50% mille x:n arvolle tahansa, kuten "paradoksi" harhauttaa olettamaan, kuoressa olevan rahamäärän odotusarvo muodostuisi äärettömäksi! (Itse asiassa voidaan todistaa, että kaikissa sellaisissa kirjekuoripeleissä, joissa vaihtamisen utiliteetin odotusarvo on positiivinen kaikille x:n arvoille, kuoresta löytyvän summan odotusarvo on ääretön - mikä tosin, kuten David J. Chalmers tässä esittää, ei välttämättä oikeuta pitämään vaihtamista kannattavana.) Äärettömät utiliteetin odotusarvot ovat aiheuttaneet harmaita hiuksia päätösteorian kehittelijöille Nicholas Bernoullin päivistä lähtien, mutta kirjekuoriparadoksin ydin ei mielestäni ole äärettömyyksien tuottamissa kommervenkeissa ja anomalioissa vaan todennäköisyyslauseisiin liittyvässä virhepäätelmässä.
Kannattaa muuten vaihtaa summien keskinäistä suhdetta suuremmaksi, vaikka tuhanneksi, niin alkuperäisen ajatusketjun absurdius erottuu kirkkaammin.
Selkeimmin, täydellisimmin ja yksinkertaisimmin päättelyvirhe voitaneen kuitenkin mallintaa logiikan avulla. En ole ollenkaan harjaantunut predikaattilogiikassa (etenkään todennäköisyysfunktiolla laajennetussa), mutta lähtötilanteen puolittainen formalisointi alkaisi suunnilleen seuraavasti:
(a) Jokaiselle x:lle pätee: jos x on pöydällä oleva kirjekuori...
(b) Jokaiselle y:lle pätee: jos y on kirjekuoressa oleva rahasumma...
Ensimmäisessä lauseessa on siis kyse kirjekuoresta ja toisessa rahanipusta, ja kuitenkin intuitiomme johtaa ajattelemaan ikään kuin kyseessä olisi yksi ja sama lause. Lienee ilmeistä, että jälkimmäinen lause ei seuraa edellisestä, mutta jätän yksityiskohtaisen todistuksen laatimisen lukijoille harjoitustehtäväksi.
Tämä varovainen vihjaus loogisen analyysin suuntaan olkoon vain esimerkkinä yrityksestä vastata kysymykseen, missä virhe täsmälleen ottaen piilee.
Kokemukseni mukaan inhimillisten virheiden tunnistaminen, ymmärtäminen ja selittäminen on useasti paljon vaikeampaa kuin oikeiden vastausten. Esimerkiksi sikäli kuin oikein muodostettujen matemaattinen rakenteiden mahdollinen keskinäinen ekvivalenssi voidaan todistaa, se voidaan todistaa sitovasti, mutta ristiriitaisesta konstruktiosta puolestaan voidaan johtaa mitä tahansa, ja näin ollen ristiriitaan johtaneen virheen alkuperän jäljittäminen on empiirinen tai korkeintaan käsitteellinen eikä niinkään matemaattis-looginen kysymys.
Sama perusongelma pätee paljon vähemmänkin eksakteihin aloihin: Kun tehtävä on riittävän epätriviaali, kaksi ihmistä epäonnistuu harvoin samalla tavalla, eikä epäonnistumisen laatu ole osa tehtävän "olemusta" samalla tavalla kuin mahdollisen onnistumisen laatu. Virheensä kanssa ihminen on yksin kuten ylipäänsä oman partikulaarisen henkilöhistoriansa kanssa, ja sehän ahdistaa jos mikä, mutta siinä vaiheessa kun oikea (tai parempi) ratkaisu on opittu, aiempien epäonnistumisten jäljittäminen on yleensä ajanhukkaa, vaikka ajatus, että saisi selville oman huonoutensa salaisuuden, on kieltämättä houkutteleva: näinhän epäonnistumisen riski olisi otettavissa tiedolliseen hallintaan, ehkä jopa eliminoitavissa. Platon perhana on pitkälti oikeassa siinä, että epätäydellisillä asioilla ei ole ideaa eli muotoa. Jos minulta kysytään, tämän seikan muoto on metafyysis-epistemologinen tragedia.
Me voimme jälkikäteen nähdä ja ymmärtää, miksi jokin on tehty oikein hyvin ja kauniisti, mutta emme silti välttämättä ymmärrä, miksi oma räpellyksemme ei tavoita samaa tasoa. Jos ymmärtäisimme, voisimme laatia listan mahdollisista virheistä, jättää ne yksinkertaisesti työstämme pois ja ryhtyä mestareiksi. Tämän tekstin narsistinen kirjoittaja on kantapään kautta oppinut, että moinen Münchhausen-menetelmä ei yksinkertaisesti toimi. Meistä itse kunkin on siis edelleen nöyrryttävä tutkimaan malleja ja esikuvia omien rakkaiden virheidemme sijaan.
Päätetään tämä kenties hieman yllättävä ekskurssi ja palataan varsinaiseen aiheeseen vielä yhden esimerkin verran:
Ajatellaanpa "kirjekuoren valintaa" veikkauspelinä, jota pelataan toistuvasti.
Pelaaja saa eteensä aina kerrallaan kaksi kuorta, joissa sisällä on rahaa tai vaikka pelaajalle täysin vieraita lukusymboleita. Avattuaan toisen kuoren hän voi aina päättää, jatkaako.
Meillä voi olla houkutus sanoa, että vaihtamisen jälkeen käteen jää keskimäärin 25% suurempi summa kuin ennen vaihtamista. Mutta kuten olemme aiemmin oppineet, tällaista keskiarvoa ei ole määritelty, ja diletanttina toivon todella, etteivät myöskään taloustilastojen kanssa tekemisissä olevat tahot ikinä sorru (esimerkiksi puhuessaan kotitalouksien tulojen keskimääräisestä kasvusta) käyttämään tällaista muutosprosenteista otettua [aritmeettista] keskiarvoa. Edelleen tällaisella konstruktiolla ei ole mitään tekemistä vaihtamisen keskiarvohyödyn kanssa, koska yksikäsitteisyysehto ei täyty. [Prosentuaalisten tms. suhteellisten muutosten geometrinen keskiarvo eli keskiverto on sitä vastoin täysin määritelty, ja se lähestyy pelissämme nollaa.]
On selvää, että pelaaja voi odottaa voittavansa kussakin vaihdossa keskimäärin nolla rahayksikköä. Kun pelaaja voi vaihtaa joko ison summan pieneksi tai pienen isoksi, odotettavissa oleva voitto ja tappio kumoavat toisensa. Tämä päättely pätee nähdäkseni jopa äärettömän odotusarvon peleihin, siis esimerkiksi sellaisiin, joissa vieras lukusymboli todella tarkoittaa mielivaltaista nollaa suurempaa lukua.
Taannoinen Blogikriitikko keksi haukkua tämän palstan sillä perusteella, että kirjoittaja on taiteilijana itseään pitävä tapaus, jollaisia netti on pullollaan ja jotka etsivät täältä turhaan huomiota. Sedis protestoi puolestani ja esitti, että Aika ja minä on filosofiaa. Tähän anonyymi kommentaattori totesi - ja aivan oikein, ettei blogini sisällöllä ole mitään tekemistä "filosofia"-nimisen tieteenalan kanssa. Oma korteni kommenttikekoon oli harkitsematon ja turhamainen päivittely: "Vai että taidetta, vai että filosofiaa." Näiden häpeällisten hetkien kaivelu on muuttunut silkaksi nostalgiaksi viimeistään nyt, kun Blogikriitikko kaikkine kommentteineen on kadonnut taivaan tuuliin. Silti jokin tuossa keskustelussa kannusti minua valmistelemaan näin pitkän merkinnän aiheesta, josta on kirjoitettu ihan oikeissa filosofisen logiikan aikakausjulkaisuissa.
Kannattaa muistaa, että tämä merkintä on "tieteellisine" osuuksineenkin harrastelijan kirjoittama. Kaikki tekniset ja terminologiset oikaisu- ja täsmennysehdotukset ovat erittäin tervetulleita.
[Pieniä viilailuja, viimeksi klo 16.47]
Timo 14:27
