|
|
20.1.07
Romautettujen viisikulmioiden mysteeri
Kohtuullinen osa aivotoiminnoistani on nyt ollut pinnassa, tasossa, tason peittämisessä. Oikeastaan toivon, että olette ihmetelleet tämän palstan viimeaikaisia outoja kuvioita, sillä nyt aion selittää.
Viime kesänä kirjoitin Keskuskatu-suunnitelmaan kuuluneesta jaksottomasta katukiveyksestä. Tunnettu tarina tietää kertoa, että vielä muutama vuosikymmen sitten tunnettuihin aperiodisiin laatoituksiin tarvittiin kymmeniä keskenään erilaisia laattoja, kunnes 70-luvulla Roger Penrose onnistui pudottamaan määrän kahteen. Joskus 90-luvun alussa mietin, voisiko saman tempun toteuttaa vain yhdellä laatalla. Tutkin erästä muotoa kynän, millimetripaperin ja astelevyn avulla sain tulokseksi, ettei voi. Mutta Eufemia paljasti isänsä havainneen tahollaan, että jaksottoman laatoituksen saa kuin saakin aikaan pelkillä romautetuilla viisikulmioilla, ja näin sain tietää tutkimani monikulmion nimen: romautettu (säännöllinen) viisikulmio (kuva 1):
Eufemian isä on opettanut rakennusoppia TKK:n arkkitehtiosastolla. Muistan hämärästi, kuinka hän kehotti minua vaihtamaan alaa. En vaihtanut, en osannut. Nyt harrastelen pinta-alalla ja koetan tutkia, kumpi mahtaa olla oikeassa viisikulmio-ongelman suhteen. "Molemmat", on vastaukseni, vaikken toistaiseksi kykenekään esittämään sitovaa todistusta - enkä edes käsitteellisesti täsmällista saati systemaattista analyysia.
Mitä matemaattisiin ambitioihin tulee, kumpikin taisi olla hakoteillä: myönnän kyllä, että romautetuilla viisikulmioilla voi peittää tason ilman kauttaaltaan toistuvaa jaksoa, vaikka lopputulos onkin osittain jaksollinen; alkuperäinen ongelma (johon Penrose keksi tunnetun ratkaisunsa) koskee kuitenkin sellaisten laattojen löytämistä, joita voisi käyttää ainoastaan jaksottomasti. Itse painottaisin vielä erikseen sitä, että romautetuilta viisikulmioilta puuttuu moni muukin Penrose-laatoituksen hienoista ominaisuuksista:
Paitsi että Penrose-laatoitus on välttämättä jaksoton (kunhan vain yksittaisten laattojen keskinäistä yhteensopivuutta rajoitetaan tietyllä helposti toteutettavalla tavalla), se on myös kvasiperiodinen siten, että pienessä mittakaavassa ilmenevä jaksollisuus heikkenee asteittaisesti siirryttäessä tarkastelemaan suurempaa aluetta. Edelleen Penrose-laatoitus etenee ja varioi täysin vapaasti (mutta tietenkin itseään toistamatta) yli äärettömän tason siten, että sen kaikki ominaisuudet kaikkialla pysyvät samoina ja riippumattomina siitä, mistä ja miten laatoitus on aloitettu. Jokainen äärellisen kokoinen Penrose-laatoitus sisältyy jokaiseen äärettömään Penrose-laatoitukseen.
Romautetut viisikulmiot käyttäytyvät jotensakin toisin: niistä voi latoa sekä siistejä jaksollisia rivejä että erilaisia jaksottomia kehiä ja spiraaleita, jolloin ladonnan aloituskohdan ympärille kehkeytyy väistämättä yhä laajempia ja laajempia itsepintaisen jaksollisia alueita. Ylipäänsä jokaisella riittävän suurella romautetetuista viisikulmioista muodostetulla kuviolla on selkeitä ladonnan jatkoa rajoittavia vaikutuksia, jotka ulottuvat rajattoman kauaksi. Jos geometrian lainalaisuudet olisivat armeliaammat (filosofiassa voimme kysyä, missä mielessä tällainen tilanne on edes kuviteltavissa), romautetut viisikulmiot olisivat tulleet jo ajat sitten nykyistä tunnetummiksi. Varsin kiehtovasti ne silti käyttäytyvät, mitä kuvat selventänevät:
Kuva 2: Romautettujen viisikulmioiden sykkyrästä sukeutuu yksihaarainen spiraali. Kello neljän suunnassa näkyy, miten kierteishaarassa etenevien viisikulmioiden rintamasuunta voidaan vaihtaa. Muutoin samaa spiraaliladontaa on jatkettava hamaan infinitumiin, jos tahdotaan välttää paitsi aukot (joita ei tietenkään saa tulla) myös halkeamat, jollaisia näkyy seuraavassa kuvassa:
Kuva 3: Kun halkeama kerran kehittyy, sitä ei voi pysäyttää. "Kynnet" laatoituksen laidoilla näyttävät kohdat, joissa halkeamat etenevät. Halkeama syntyy, kun vastakkaisiin suuntaan kiertävien kierrehaarojen väliin jää puolikkaan laattarivin ero siten, että ne eivät kykene kohtaamaan toisiaan. Tietyissä tapauksissa näin käy silloinkin, kun haarat kohtaavat "takapuoli" (eivätkä "kynnet") edellä. Kun laatoituksessa kummittelee pentagrammi (tähti siis), se tarkoittaa monesti halkeamaa.
Yllä nähtävä nyrjähtelevä laatoitus sopisi mainiosti vaikka koristamaan levykaupan seinää tai lattiaa jossain Viiskulmassa, mutta näin pahaa laattaa tuskin kannattaa tehdä ainakaan hauraasta keramiikasta.
Kuva 4: Suhteellisen vapaamuotoinen kaksihaarainen spiraali. Huomatkaa kahdeksankulmaiset sykkyrät, joissa eri suuntiin kulkevat kulmioketjut "kättelevät". Jokunen pala puuttuu...
Romautetuista viisikulmioista tehdyn laatoituksen voi värittää kahdella värillä, ks. eilinen kehitelmä.
Aihepiiriin liittyvä linkki, jonka takaa löytyy mm. nelikulmainen pyöröovi.
[Edit. viimeksi 22.1. klo 21.26: Jos puhutaan jaksottomuudesta iman lisävaateita, Eufemian isä on sittenkin oikeassa ja minä väärässä. Kenties ainoastaan allekirjoittanut odotti viisikulmioilta enemmän kuin mihin ne pystyvät. Jaksoton laatoitus tarkoittaa, ettei sitä voi muodostaa toistamalla jotain peruspalaa säännöllisesti. Tämä ehto täyttyy viisikulmioilla todella helposti, joskaan ei kaikilla laatoitustavoilla. Romautettu viisikulmio ei ole ainut yksittäinen laatta, jolla pinnan voi peittää jaksotta, mutta sellaisten löytämisen joudun niin sanoakseni jättämään lukijoille harjoitustehtäväksi.]Tunnisteet: arkkitehtuuri, concave pentagon, geometria, kuva, laatoitus, romautettu viisikulmio, tiling
Timo 17:28
|
