|
|
20.1.07
Romautettujen viisikulmioiden mysteeri
Kohtuullinen osa aivotoiminnoistani on nyt ollut pinnassa, tasossa, tason peittämisessä. Oikeastaan toivon, että olette ihmetelleet tämän palstan viimeaikaisia outoja kuvioita, sillä nyt aion selittää.
Viime kesänä kirjoitin Keskuskatu-suunnitelmaan kuuluneesta jaksottomasta katukiveyksestä. Tunnettu tarina tietää kertoa, että vielä muutama vuosikymmen sitten tunnettuihin aperiodisiin laatoituksiin tarvittiin kymmeniä keskenään erilaisia laattoja, kunnes 70-luvulla Roger Penrose onnistui pudottamaan määrän kahteen. Joskus 90-luvun alussa mietin, voisiko saman tempun toteuttaa vain yhdellä laatalla. Tutkin erästä muotoa kynän, millimetripaperin ja astelevyn avulla sain tulokseksi, ettei voi. Mutta Eufemia paljasti isänsä havainneen tahollaan, että jaksottoman laatoituksen saa kuin saakin aikaan pelkillä romautetuilla viisikulmioilla, ja näin sain tietää tutkimani monikulmion nimen: romautettu (säännöllinen) viisikulmio (kuva 1):
Eufemian isä on opettanut rakennusoppia TKK:n arkkitehtiosastolla. Muistan hämärästi, kuinka hän kehotti minua vaihtamaan alaa. En vaihtanut, en osannut. Nyt harrastelen pinta-alalla ja koetan tutkia, kumpi mahtaa olla oikeassa viisikulmio-ongelman suhteen. "Molemmat", on vastaukseni, vaikken toistaiseksi kykenekään esittämään sitovaa todistusta - enkä edes käsitteellisesti täsmällista saati systemaattista analyysia.
Mitä matemaattisiin ambitioihin tulee, kumpikin taisi olla hakoteillä: myönnän kyllä, että romautetuilla viisikulmioilla voi peittää tason ilman kauttaaltaan toistuvaa jaksoa, vaikka lopputulos onkin osittain jaksollinen; alkuperäinen ongelma (johon Penrose keksi tunnetun ratkaisunsa) koskee kuitenkin sellaisten laattojen löytämistä, joita voisi käyttää ainoastaan jaksottomasti. Itse painottaisin vielä erikseen sitä, että romautetuilta viisikulmioilta puuttuu moni muukin Penrose-laatoituksen hienoista ominaisuuksista:
Paitsi että Penrose-laatoitus on välttämättä jaksoton (kunhan vain yksittaisten laattojen keskinäistä yhteensopivuutta rajoitetaan tietyllä helposti toteutettavalla tavalla), se on myös kvasiperiodinen siten, että pienessä mittakaavassa ilmenevä jaksollisuus heikkenee asteittaisesti siirryttäessä tarkastelemaan suurempaa aluetta. Edelleen Penrose-laatoitus etenee ja varioi täysin vapaasti (mutta tietenkin itseään toistamatta) yli äärettömän tason siten, että sen kaikki ominaisuudet kaikkialla pysyvät samoina ja riippumattomina siitä, mistä ja miten laatoitus on aloitettu. Jokainen äärellisen kokoinen Penrose-laatoitus sisältyy jokaiseen äärettömään Penrose-laatoitukseen.
Romautetut viisikulmiot käyttäytyvät jotensakin toisin: niistä voi latoa sekä siistejä jaksollisia rivejä että erilaisia jaksottomia kehiä ja spiraaleita, jolloin ladonnan aloituskohdan ympärille kehkeytyy väistämättä yhä laajempia ja laajempia itsepintaisen jaksollisia alueita. Ylipäänsä jokaisella riittävän suurella romautetetuista viisikulmioista muodostetulla kuviolla on selkeitä ladonnan jatkoa rajoittavia vaikutuksia, jotka ulottuvat rajattoman kauaksi. Jos geometrian lainalaisuudet olisivat armeliaammat (filosofiassa voimme kysyä, missä mielessä tällainen tilanne on edes kuviteltavissa), romautetut viisikulmiot olisivat tulleet jo ajat sitten nykyistä tunnetummiksi. Varsin kiehtovasti ne silti käyttäytyvät, mitä kuvat selventänevät:
Kuva 2: Romautettujen viisikulmioiden sykkyrästä sukeutuu yksihaarainen spiraali. Kello neljän suunnassa näkyy, miten kierteishaarassa etenevien viisikulmioiden rintamasuunta voidaan vaihtaa. Muutoin samaa spiraaliladontaa on jatkettava hamaan infinitumiin, jos tahdotaan välttää paitsi aukot (joita ei tietenkään saa tulla) myös halkeamat, jollaisia näkyy seuraavassa kuvassa:
Kuva 3: Kun halkeama kerran kehittyy, sitä ei voi pysäyttää. "Kynnet" laatoituksen laidoilla näyttävät kohdat, joissa halkeamat etenevät. Halkeama syntyy, kun vastakkaisiin suuntaan kiertävien kierrehaarojen väliin jää puolikkaan laattarivin ero siten, että ne eivät kykene kohtaamaan toisiaan. Tietyissä tapauksissa näin käy silloinkin, kun haarat kohtaavat "takapuoli" (eivätkä "kynnet") edellä. Kun laatoituksessa kummittelee pentagrammi (tähti siis), se tarkoittaa monesti halkeamaa.
Yllä nähtävä nyrjähtelevä laatoitus sopisi mainiosti vaikka koristamaan levykaupan seinää tai lattiaa jossain Viiskulmassa, mutta näin pahaa laattaa tuskin kannattaa tehdä ainakaan hauraasta keramiikasta.
Kuva 4: Suhteellisen vapaamuotoinen kaksihaarainen spiraali. Huomatkaa kahdeksankulmaiset sykkyrät, joissa eri suuntiin kulkevat kulmioketjut "kättelevät". Jokunen pala puuttuu...
Romautetuista viisikulmioista tehdyn laatoituksen voi värittää kahdella värillä, ks. eilinen kehitelmä.
Aihepiiriin liittyvä linkki, jonka takaa löytyy mm. nelikulmainen pyöröovi.
[Edit. viimeksi 22.1. klo 21.26: Jos puhutaan jaksottomuudesta iman lisävaateita, Eufemian isä on sittenkin oikeassa ja minä väärässä. Kenties ainoastaan allekirjoittanut odotti viisikulmioilta enemmän kuin mihin ne pystyvät. Jaksoton laatoitus tarkoittaa, ettei sitä voi muodostaa toistamalla jotain peruspalaa säännöllisesti. Tämä ehto täyttyy viisikulmioilla todella helposti, joskaan ei kaikilla laatoitustavoilla. Romautettu viisikulmio ei ole ainut yksittäinen laatta, jolla pinnan voi peittää jaksotta, mutta sellaisten löytämisen joudun niin sanoakseni jättämään lukijoille harjoitustehtäväksi.]Tunnisteet: arkkitehtuuri, concave pentagon, geometria, kuva, laatoitus, romautettu viisikulmio, tiling
Timo 17:28
(1) kommentoi
17.1.07
Toissäöinen ja eilinen
"Tämä maa on sellainen henkinen harvennushakkuu, ettei ole toista nähty. "
- S. Liuhto
Helsingissä rakennukset olivat outoja, sisäpihat, mutta tiesin niistä paljon, julkisivutyylit. Selitin mielelläni.
En muista, lähdinkö matkaan täältä vai Tampereelta, mutta kulkuani kohti pohjoista säesti ortodoksinen liturgia. Ylitin tulvivan sillan, jonka kahta erakkoa esilukijamme muisti. Toisen erakon epiteetti oli "Pyhittäjä", ja molemmat olivat tehneet sillalla itsemurhan. Outo käänne. Selvisin kuivin jaloin, sillä pidin kiinni kaiteista. En tiedä, miten onnistuin. Silta oli kaksikaistainen ( ja muistutti hieman Fräntilän siltaa). Maa oli alava, autio, vetinen ja hämärä.
Kun lähestyin Oulua, alkoi aurinko paistaa. Tie teki pittoreskin kaarteen yli metsäisen kunnaan, ja männyt hohtivat kultaisina. Ylhäällä tien vasemmalla puolella istui venäläinen kivellä ja luki ääneen, ehkä runoutta.
Kohta herättyäni aloin saada tekstiviestejä: Eräässä niistä kirjoittaja mainitsi olevansa arkkitehdin kanssa työmaahississä matkalla pilvenpiirtäjän huipulle. Käymälöitsijä oli ties missä Harkovassa. Kaveri intoili Venäjän (ja Ukrainan) uudesta rakennustaiteesta ja kysyi, tiedänkö Aleksander Brodskya, jolla on "mahtavia juttuja Moskovassa". Rakentaminen on siellä kuulemma miellyttävää, ei ankeaa ja elämänkielteistä niin kuin Suomessa (ja nähdäkseni unissanikin, vaikka katson ne pääosin positiivisiksi); julkisessa tilassa viihtyy ihminen ja luovuutta on "kuin 20-luvulla".
Harkita pitää, mutta pieni annos Idän hulluutta voisi tehdä terää. Mistäpähän tuota saisi?
[Korjattu "yli metsäisesti kunnaan" klo 0.58.] Tunnisteet: arkkitehtuuri, unet
Timo 21:24
(0) kommentoi
23.8.04
Vaihteeksi hieman runsaampi merkintä
Asuin Seinäjoella varhaislapsuuteni vuodet kolmannesta kuudenteen. Viime viikolla kävin pitkästä aikaa paikallisessa "lainastossa". Romanttinen paikka, johon liittyy arvokkaita muistoja. Lastenosasto jännittävine soppineen on hieman aikuistenosatoa ja lainaustiskiä (nyk. infotiski) ylempänä. Kaikki tapahtuu pienen ihmisen mittakaavassa. Tunnelma on oudon intensiivinen, liikuttava ja intiimi. Sääli, etten saattanut viipyä pitempään.
Kirjasto on tätä nykyä tupaten täynnä: lainattavaa aineistoa on tiloissa, joissa sitä ei Alvar Aallon alkuperäisen suunnitelman mukaan pitäisi, mutta moinen sisäinen laajentuminen vain lisää kirjamaailman kiehtovuutta.
Paljastan näin viime perjantaisen kauneusmystiikkani tärkeimmän referenssin. Lyhyt kirjastokäynti oli erikoinen kokemus, kuin olisin löytänyt aivojeni kadonneen kartan. Aion hetimiten palata takaisin tankkaamaan informaatiota sisään oikeasta päästä.
Koko Seinäjoen Aalto-keskuksessa ja itse kirjastossa on toki paljon teennäisyyksiä, kömpelyyksiä, monenlaisia kyseenalaistettavuuksia. Kuitenkin piazza-teeman teatraalisuus on virkistävänkin pitkälle vietyä: näyttämölliset eleet eivät ole tyhjiä, eivät pelkkää ilveilyä, vaikka ympärillä levittäytyy lakeuden tylyhkö tyhjyys.
Rappauksen rapisemista pelänneet päättävät tahot pilasivat kolealla kaakelijulkisivulla teatteritalon, joka rakennettiin Aallon kuoleman jälkeen. Myös ainakin kattomuoto muuttui matkan varrella, ja lopputulos on jotensakin möhkälemäinen.
Aalto oli vahvimmillaan pienen mittakaavan monumentaalirakentamisessa. Hänen onnistuneimmat talonsa ovat sellaisia, joita lapsikin ymmärtää ja joiden epämiellyttävyyskin, kuten ulkoapäin hieman "ohikatsovan" ja kainosti avautuvan kirjaston, on herkkää ja merkitsevää laatua. Pieni on suurta.
Seinäjoen maakuntakirjasto on ehdottomasti feminiini rakennus. Kuuskytluvyn alkupuolen viileä leidi, sisältä lämmin.
Entisessä lukusalissa tiskin takana oli suloinen tyttö, ei toki mikään julkean ilmeinen ilmestys, turhaahan se olisikaan. Hän hymyili, kun toin hänen eteensä seuraavat kirjat:
1. E. M. Cioran, Katkeruuden syllogismeja:
Cioran on ajattelija, jota ehkä saatan siteerata - tai jäljitellä - tuntematta itseinhoa.
Tämän väittämän kirjoitin muistiin paluumatkalla junassa.
Sven luonnehti Ciorania "muinaisranskalaiseksi tommipommiksi". Ei tuo romanialaisen papin poika sentään tommipommi ole. Cioran on se tyyppi, jolle loputon väittely Tommipommin kanssa ei tuota ongelmia. Cioran on sellainen vanhan ajan pessimisti, jyynikko ja Homo supinus, joka onnistuu välittämään lukijalle siedettävän rehellisyyden ja pelottomuuden vaikutelman. Tässä hän eroaa Tommista, jonka täytyy käyttää läpinäkyviä erektus- ja typerysnaamioitaan - ja valitettavasti lähinnä defensiivisesti, kirjoittajan narsistisen kuplan sanamaagisina vahvikkeina. Itsepäinen ja -pintainen viehtymys itsesäälin ja ylimielisyyden tapaisiin halpoihin temppuihin ei juuri innosta. Jos jotain Tommilta sopisi toivoa, niin paljon rohkeampaa karnevalismia. Tietoisemmat jäähyväiset lihasäkeille... Mistä tulikin mieleen mielipide, että show-paini on tämän päivän nerokkainta kansankomediaa.
Välittämisellä ja välttämisellä on vain yhden kirjaimen ero. Tämän ei tarvitse liittyä asiaan.
2. Jacques Derrida, Platonin apteekki ja muita kirjoituksia:
Olen kirjoittamassa teemasta "leikki", ja ajattelin, ettei Derridaa pidä tällä kertaa ohittaa. Minulla oli valmis tulkintahypoteesikin. Unohdin sen, mutta tunnustan viihtyneeni Derridan parissa mainiosti. Olen viihtynyt ennenkin, minkä tunnustaminen on monissa piireissä noloa, noloa enimmäkseen typeristä syistä.
Derrida on on jo eläissään iso nimi kuten oli Aaltokin - ja yhtä lailla menestyksensä vanki, sellainen, josta lopulta kaikilla on mielipide ja josta voidaan haluta mitä vain. Kuitenkin molempien ukonkuvatusten tuotosten äärellä olen kuitenkin ajoittain kokenut jonkinlaisen vapaan hengen kosketuksen, ikään kuin oma mustavalkoinen ajattelu muuttuisi värilliseksi. Tunne: tähän suuntaan on sittenkin mahdollista mennä.
Onneksi D:n aika älyllisenä muotiguruna alkaa olla jäänyt taakse: kaikille pitäisi kuitenkin olla selvää, että miehen projekti on radikaalisti esseistinen pikemmin kuin oppijärjestelmää luova. Tekijän turhamaisuus toki tunkee silmille. Sitä täytyy sietää Alvar Aallonkin yhteydessä.
3. Mikko Salmela, Suomalaisen kulttuurifilosofian vuosisata: kansallista sivistystä.
4. Jirí Kolár 1914-2002, julkaissut Amos Andersonin taidemuseo: "herra Kollaasin" rakastettavan tärkeilemätöntä taidetta. [Kuvitelkaa hatut etu- ja sukunimen ärrien päälle. Merkin ääntämyshän on soinnillisen suhuässän tapainen, tosin jostain olen ollut ymmärtävinäni, että aika erikoinen - mitä tähän sanovat "tsekistit"?]
Olisiko muuten olemassa parempaa syytä lukea kirjoja kuin ihastuminen kirjastoapulaiseen?Tunnisteet: aforismit, arkkitehtuuri, kirjasto, kirjat, Seinäjoki
Timo 14:43
(0) kommentoi
22.4.03
Toteamuksia:
Arkkitehtuuri on yksinkertaista.
Rakennus on arkki.
Muoto otetaan annettuna.
Minä tarvitsen monimutkaista. Mikä on sellaista?
Tarvitsen myös liikutusta. Kiusallista.
Kuvasuhteeni on rembrandtilainen. (Kiitos Maria)
Ajattelijankin on uskallettava.
Tunnisteet: arkkitehtuuri, muoto
Timo 01:34
(0) kommentoi
|
